Giải tích Ví dụ

$\int 2 \sqrt[3]{\sin (2 x)} \cos (2 x) d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \sqrt[3]{\sin (2 x)} \cos (2 x) d x$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = \sin (2 x)$ . Sau đó $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = \sin (2 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 2.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Bước 2.1.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$2 \int \sqrt[3]{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 3

Kết hợp $\sqrt[3]{u_{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sqrt[3]{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2})$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Bước 5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Bước 5.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Bước 5.1.3

Nhân $\int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$ với $1$ .

$\int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Bước 5.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u_{2}}$ ở dạng ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (2 x)$ .

$\frac{3}{4} {\sin (2 x)}^{\frac{4}{3}} + C$