Giải tích Ví dụ

$5^{x} + 2 x$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5^{x} + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5^{x} \ln (5) + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5^{x} \ln (5) + 2 \cdot 1$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (x) = 5^{x} \ln (5) + 2$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5^{x} \ln (5) + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $\ln (5)$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5^{x} \ln (5)$ đối với $x$ là $\ln (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$\ln (5) \frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $5$ .

$\ln (5) (5^{x} \ln (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.2.3

Nâng $\ln (5)$ lên lũy thừa $1$ .

$5^{x} (\ln^{1} (5) \ln (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.2.4

Nâng $\ln (5)$ lên lũy thừa $1$ .

$5^{x} (\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5^{x} {\ln (5)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$5^{x} \ln^{2} (5) + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$5^{x} \ln^{2} (5) + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $5^{x} \ln^{2} (5)$ và $0$ .

$f'' (x) = 5^{x} \ln^{2} (5)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $\ln^{2} (5)$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5^{x} \ln^{2} (5)$ đối với $x$ là $\ln^{2} (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$\ln^{2} (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $5$ .

$\ln^{2} (5) (5^{x} \ln (5))$

Bước 3.3

Nhân $\ln^{2} (5)$ với $\ln (5)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển $\ln (5)$ .

$\ln (5) \ln^{2} (5) \cdot 5^{x}$

Bước 3.3.2

Nhân $\ln (5)$ với $\ln^{2} (5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nâng $\ln (5)$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln^{1} (5) \ln^{2} (5) \cdot 5^{x}$

Bước 3.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\ln (5)}^{1 + 2} \cdot 5^{x}$

Bước 3.3.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\ln^{3} (5) \cdot 5^{x}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số của $\ln^{3} (5) \cdot 5^{x}$ .

$f''' (x) = 5^{x} \ln^{3} (5)$