Giải tích Ví dụ

$\int \sqrt{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} d x$ , nên $2^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}]$

Bước 1.1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ ở dạng ${(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Bước 1.1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Bước 1.1.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Bước 1.1.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Bước 1.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Bước 1.1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Bước 1.1.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Bước 1.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Bước 1.1.9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.10

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.10.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.10.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

Bước 1.1.12

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.12.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} x$

Bước 1.1.12.2

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{4}$ .

$\frac{x \cdot 2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 1.1.12.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 1.1.12.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.12.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 1.1.12.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.12.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 1.1.12.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 1.1.12.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 1.1.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.13.1

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

$\frac{x}{2} {(\frac{2}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.1.13.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.13.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.13.3.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.13.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 1.1.13.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.13.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 1.1.13.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}$

Bước 1.1.13.3.2

Rút gọn.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$

Bước 1.1.13.3.3

Nhân $\frac{x}{2}$ với $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2 x}$

Bước 1.1.13.3.4

Di chuyển $2^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x}{2 x \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.13.3.5

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.13.3.5.1

Di chuyển $2^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x}$

Bước 1.1.13.3.5.2

Nhân $2^{- \frac{1}{2}}$ với $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.13.3.5.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x}$

Bước 1.1.13.3.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + 1} x}$

Bước 1.1.13.3.5.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x}$

Bước 1.1.13.3.5.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} x}$

Bước 1.1.13.3.5.5

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

Bước 1.1.13.3.6

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

Bước 1.1.13.3.7

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}} d u_{2}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$\int u_{2} (1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) d u_{2}$

Bước 2.2

Nhân $2^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\int u_{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Bước 3

Vì $2^{\frac{1}{2}}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $2^{\frac{1}{2}}$ ra khỏi tích phân.

$2^{\frac{1}{2}} \int u_{2} d u_{2}$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $2^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 5.2.2

Di chuyển $2^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 5.2.3

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 5.2.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 5.2.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 5.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 5.2.3.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}}^{2} + C$

Bước 7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}}}^{2} + C$