Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x - \frac{π}{4})}{x}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Bước 4

Tính giới hạn của $\frac{π}{4}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Bước 5

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Bước 5.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})}{\frac{π}{2}}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Bước 6.2

Để viết $\frac{π}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Bước 6.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Bước 6.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\sin (\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Bước 6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sin (\frac{π \cdot 2 - π}{4}) \frac{2}{π}$

Bước 6.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$\sin (\frac{2 \cdot π - π}{4}) \frac{2}{π}$

Bước 6.5.2

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$\sin (\frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Bước 6.6

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Bước 6.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Bước 6.7.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{2} \frac{1}{π}$

Bước 6.8

Kết hợp $\sqrt{2}$ và $\frac{1}{π}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{π}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt{2}}{π}$

Dạng thập phân:

$0.45015815 \dots$