Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 1

Viết $\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Bước 4

Giả sử $x = \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\sec^{2} (t)$ dương.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 5.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Bước 5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Bước 6

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Bước 7

Đưa $\tan^{2} (t)$ ra ngoài.

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Bước 8

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Bước 9

Rút gọn.

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Bước 10

Giả sử $u = \sec (t)$ . Sau đó $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , nên $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u = \sec (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Bước 10.1.2

Đạo hàm của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

Bước 11

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Bước 12

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Bước 13

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Bước 14

Rút gọn.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Bước 15

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (t)$ .

$- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + C$

Bước 15.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arctan (x)$ .

$- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$

Bước 16

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$F (x) =$ $- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$