Giải tích Ví dụ

$2 y e^{y^{2}}$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y e^{y^{2}}$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y$ và $g (y) = e^{y^{2}}$ .

$2 (y \frac{d}{d y} [e^{y^{2}}] + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y^{2}$ .

$2 (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 (y (e^{u} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y^{2}$ .

$2 (y (e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (y (e^{y^{2}} (2 y)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Bước 5

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (y^{1} y (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Bước 6

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (y^{1} y^{1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Bước 7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (y^{1 + 1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Bước 8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (y^{2} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Bước 8.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{y^{2}}$ .

$2 (y^{2} (2 \cdot e^{y^{2}}) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}} \cdot 1)$

Bước 10

Nhân $e^{y^{2}}$ với $1$ .

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}})$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}})) + 2 e^{y^{2}}$

Bước 11.2

Nhân $2$ với $2$ .

$4 y^{2} e^{y^{2}} + 2 e^{y^{2}}$

Bước 11.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 e^{y^{2}} y^{2} + 2 e^{y^{2}}$

Bước 11.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $4 e^{y^{2}} y^{2} + 2 e^{y^{2}}$ .

$4 y^{2} e^{y^{2}} + 2 e^{y^{2}}$