Giải tích Ví dụ

$f (x) = \cot (x) (- 8 \sin (x) - 10 \csc (x))$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \cot (x) (- 8 \sin (x) - 10 \csc (x)) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \cot (x) (- 8 \sin (x)) + \cot (x) (- 10 \csc (x)) d x$

Bước 3.2

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Sắp xếp lại $\cot (x)$ và $- 8 \sin (x)$ .

$\int - 8 \sin (x) \cot (x) + \cot (x) (- 10 \csc (x)) d x$

Bước 3.2.2

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\int - 8 (\sin (x) \cot (x)) + \cot (x) (- 10 \csc (x)) d x$

Bước 3.2.3

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $\cot (x)$ .

$\int - 8 (\cot (x) \sin (x)) + \cot (x) (- 10 \csc (x)) d x$

Bước 3.2.4

Viết lại $\cot (x) (- 8 \sin (x))$ theo sin và cosin.

$\int - 8 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) + \cot (x) (- 10 \csc (x)) d x$

Bước 3.2.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\int - 8 \cos (x) + \cot (x) (- 10 \csc (x)) d x$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\int - 8 \cos (x) - 10 \cot (x) \csc (x) d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 8 \cos (x) d x + \int - 10 \cot (x) \csc (x) d x$

Bước 5

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 8$ ra khỏi tích phân.

$- 8 \int \cos (x) d x + \int - 10 \cot (x) \csc (x) d x$

Bước 6

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$- 8 (\sin (x) + C) + \int - 10 \cot (x) \csc (x) d x$

Bước 7

Vì $- 10$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 10$ ra khỏi tích phân.

$- 8 (\sin (x) + C) - 10 \int \cot (x) \csc (x) d x$

Bước 8

Vì đạo hàm của $- \csc (x)$ là $\cot (x) \csc (x)$ , tích phân của $\cot (x) \csc (x)$ là $- \csc (x)$ .

$- 8 (\sin (x) + C) - 10 (- \csc (x) + C)$

Bước 9

Rút gọn.

$- 8 \sin (x) + 10 \csc (x) + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cot (x) (- 8 \sin (x) - 10 \csc (x))$ .

$F (x) =$ $- 8 \sin (x) + 10 \csc (x) + C$