Giải tích Ví dụ

$\int 3 x^{2} {(x + 6)}^{2} d x$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int x^{2} {(x + 6)}^{2} d x$

Bước 2

Khai triển $x^{2} {(x + 6)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(x + 6)}^{2}$ ở dạng $(x + 6) (x + 6)$ .

$3 \int x^{2} ((x + 6) (x + 6)) d x$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \int x^{2} (x (x + 6) + 6 (x + 6)) d x$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \int x^{2} (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6)) d x$

Bước 2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \int x^{2} (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6) d x$

Bước 2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \int x^{2} (x \cdot x + x \cdot 6) + x^{2} (6 x + 6 \cdot 6) d x$

Bước 2.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \int x^{2} (x \cdot x) + x^{2} (x \cdot 6) + x^{2} (6 x + 6 \cdot 6) d x$

Bước 2.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \int x^{2} (x \cdot x) + x^{2} (x \cdot 6) + x^{2} (6 x) + x^{2} (6 \cdot 6) d x$

Bước 2.8

Sắp xếp lại $x$ và $6$ .

$3 \int x^{2} x \cdot x + x^{2} (6 \cdot x) + x^{2} (6 x) + x^{2} (6 \cdot 6) d x$

Bước 2.9

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $6$ .

$3 \int x^{2} x \cdot x + 6 \cdot x^{2} \cdot x + x^{2} (6 x) + x^{2} (6 \cdot 6) d x$

Bước 2.10

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $6$ .

$3 \int x^{2} x \cdot x + 6 \cdot x^{2} \cdot x + 6 \cdot x^{2} x + x^{2} (6 \cdot 6) d x$

Bước 2.11

Di chuyển $x^{2}$ .

$3 \int x^{2} x \cdot x + 6 \cdot x^{2} \cdot x + 6 \cdot x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Bước 2.12

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$3 \int x^{2} x^{1} x + 6 x^{2} x + 6 x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Bước 2.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 \int x^{2 + 1} x + 6 x^{2} x + 6 x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Bước 2.14

Cộng $2$ và $1$ .

$3 \int x^{3} x + 6 x^{2} x + 6 x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Bước 2.15

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$3 \int x^{3} x^{1} + 6 x^{2} x + 6 x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Bước 2.16

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 \int x^{3 + 1} + 6 x^{2} x + 6 x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Bước 2.17

Cộng $3$ và $1$ .

$3 \int x^{4} + 6 x^{2} x + 6 x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Bước 2.18

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$3 \int x^{4} + 6 (x^{2} x^{1}) + 6 x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Bước 2.19

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 \int x^{4} + 6 x^{2 + 1} + 6 x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Bước 2.20

Cộng $2$ và $1$ .

$3 \int x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2} x + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Bước 2.21

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$3 \int x^{4} + 6 x^{3} + 6 (x^{2} x^{1}) + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Bước 2.22

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 \int x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2 + 1} + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Bước 2.23

Cộng $2$ và $1$ .

$3 \int x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{3} + 6 \cdot 6 x^{2} d x$

Bước 2.24

Nhân $6$ với $6$ .

$3 \int x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{3} + 36 x^{2} d x$

Bước 2.25

Cộng $6 x^{3}$ và $6 x^{3}$ .

$3 \int x^{4} + 12 x^{3} + 36 x^{2} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$3 (\int x^{4} d x + \int 12 x^{3} d x + \int 36 x^{2} d x)$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 12 x^{3} d x + \int 36 x^{2} d x)$

Bước 5

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 12 \int x^{3} d x + \int 36 x^{2} d x)$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 36 x^{2} d x)$

Bước 7

Vì $36$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $36$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 36 \int x^{2} d x)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 36 (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

$3 (\frac{x^{5}}{5} + 3 x^{4} + 12 x^{3}) + C$

Bước 9.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + 3 x^{4} + 12 x^{3}) + C$