Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) \sqrt{2 \sin^{2} (x) - 1} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = \sin (x)$ . Sau đó $d u_{1} = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

Bước 1.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Bước 1.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} {u_{1}}^{3} \sqrt{2 {u_{1}}^{2} - 1} d u_{1}$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d u_{1} = \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2}$ dương.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{1} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.1.5

Tính số mũ.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.3.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.3.6.5

Tính số mũ.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.4

Kết hợp $\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2} \sec (t)}{2})}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2} \sec (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{(\sqrt{2} \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.5.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\sqrt{2} \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{\sqrt{2}}^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{1} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.6.5

Tính số mũ.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.7

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{4} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 (2)} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot 2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.8.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\frac{2 \sec^{2} (t)}{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\frac{2 \sec^{2} (t)}{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.1.9.2

Chia $\sec^{2} (t)$ cho $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\tan^{2} (t)} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.1.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \tan (t) \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Kết hợp $\frac{1}{\sqrt{2}}$ và $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \tan (t) \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.2.1.2

Kết hợp $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2}$ và $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t) \tan (t)}{2} d t$

Bước 3.2.1.3

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan (t))}{2} d t$

Bước 3.2.1.4

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t))}{2} d t$

Bước 3.2.1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) {\tan (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Bước 3.2.1.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Bước 3.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{{\sqrt{2}}^{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Bước 3.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Viết lại ${\sqrt{2}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{2^{3}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{2^{3}}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Bước 3.2.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{8}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Bước 3.2.3.3

Nhân $\frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{8}}$ với $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t) (\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Bước 3.2.3.4

Nhân $\sec^{3} (t)$ với $\sec (t)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.4.1

Di chuyển $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec (t) \sec^{3} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Bước 3.2.3.4.2

Nhân $\sec (t)$ với $\sec^{3} (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.4.2.1

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{3} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Bước 3.2.3.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{{\sec (t)}^{1 + 3} (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Bước 3.2.3.4.3

Cộng $1$ và $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{4} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Bước 3.2.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{8}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{4} (t) \sqrt{2} \tan^{2} (t)}{2 \sqrt{8}} d t$

Bước 4

Vì $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $4$ ở dạng $2$ cộng $2$

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

Bước 5.2

Viết lại ${\sec (t)}^{2 + 2}$ ở dạng $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Bước 6

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (t)$ ở dạng $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Bước 7

Giả sử $u_{2} = \tan (t)$ . Sau đó $d u_{2} = \sec^{2} (t) d t$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u_{2} = d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u_{2} = \tan (t)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Bước 7.1.2

Đạo hàm của $\tan (t)$ đối với $t$ là $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Bước 7.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u_{2} = \tan (t)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Bước 7.3

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 7.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u_{2} = \tan (t)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Bước 7.5

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 7.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 7.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} (1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 8

Nhân $(1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân ${u_{2}}^{2}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 9.2

Nhân ${u_{2}}^{2}$ với ${u_{2}}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Bước 9.2.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{0}^{1} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{4}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1})$

Bước 13

Kết hợp $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1}$ và $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1}$

Bước 14

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Tính $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ tại $1$ và tại $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} ((\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Bước 14.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Bước 14.2.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Bước 14.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Bước 14.2.4

Nhân $\frac{1}{5}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Bước 14.2.5

Để viết $\frac{1}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Bước 14.2.6

Để viết $\frac{1}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Bước 14.2.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.7.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Bước 14.2.7.2

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Bước 14.2.7.3

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{3}{5 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Bước 14.2.7.4

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{3}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Bước 14.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5 + 3}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Bước 14.2.9

Cộng $5$ và $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Bước 14.2.10

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Bước 14.2.11

Nhân $\frac{1}{3}$ với $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Bước 14.2.12

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + \frac{1}{5} \cdot 0))$

Bước 14.2.13

Nhân $\frac{1}{5}$ với $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + 0))$

Bước 14.2.14

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - 0)$

Bước 14.2.15

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} + 0)$

Bước 14.2.16

Cộng $\frac{8}{15}$ và $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \cdot \frac{8}{15}$

Bước 14.2.17

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ với $\frac{8}{15}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8}{2 \sqrt{8} \cdot 15}$

Bước 14.2.18

Nhân $15$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8}{30 \sqrt{8}}$

Bước 14.2.19

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $\sqrt{2}$ .

$\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{30 \sqrt{8}}$

Bước 14.2.20

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $30$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.20.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{30 \sqrt{8}}$

Bước 14.2.20.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.20.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $30 \sqrt{8}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{8})}$

Bước 14.2.20.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{8})}$

Bước 14.2.20.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{8}}$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{4 (2)}}$

Bước 15.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Bước 15.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 (2 \sqrt{2})}$

Bước 15.3

Nhân $2$ với $15$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{30 \sqrt{2}}$

Bước 15.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $30$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{30 \sqrt{2}}$

Bước 15.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $30 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{2})}$

Bước 15.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{2})}$

Bước 15.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2}}$

Bước 15.5

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2}}$

Bước 15.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{15}$

Bước 16

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2}{15}$

Dạng thập phân:

$0.1\overline{3}$