Giải tích Ví dụ

$y = 2 x \ln (5 x^{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x \ln (5 x^{2})$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (5 x^{2})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 5 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Kết hợp $\frac{1}{5 x^{2}}$ và $x$ .

$2 (\frac{x}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\frac{x^{1}}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$2 (\frac{x \cdot 1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{5 x}$ .

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{2}{x} x + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.6.2

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $x$ .

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.6.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.6.3.2

Chia $2$ cho $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \cdot 1)$

Bước 1.4.8

Nhân $\ln (5 x^{2})$ với $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}))$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (5 x^{2})$

Bước 1.5.2

Nhân $2$ với $2$ .

$4 + 2 \ln (5 x^{2})$

Bước 1.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 2 \ln (5 x^{2}) + 4$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \ln (5 x^{2}) + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \ln (5 x^{2})$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 5 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2.3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 (2 x))) + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2.5

Nhân $2$ với $5$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (10 x)) + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2.6

Kết hợp $10$ và $\frac{1}{5 x^{2}}$ .

$2 (\frac{10}{5 x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2.7

Kết hợp $\frac{10}{5 x^{2}}$ và $x$ .

$2 \frac{10 x}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2.8

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1

Đưa $5$ ra ngoài $10 x$ .

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 x^{2}$ .

$2 \frac{5 (2 x)}{5 (x^{2})} + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2.9

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$2 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2.10

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{x}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.2.11

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{4}{x} + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $\frac{4}{x}$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4}{x}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$4 (- x^{- 2})$

Bước 3.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 x^{- 2}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 3.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}}$

Bước 3.5.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f''' (x) = - \frac{4}{x^{2}}$