Giải tích Ví dụ

$\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$

Bước 1

Viết $\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $\frac{3}{10}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{10} x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.1.2.3

Kết hợp $5$ và $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.1.2.4

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.1.2.5

Kết hợp $\frac{15}{10}$ và $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.1.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $15$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.6.1

Đưa $5$ ra ngoài $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.1.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.6.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.1.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.1.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Vì $\frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3 x^{4}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.2.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.2.2.4

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.2.2.5

Kết hợp $\frac{12}{2}$ và $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.2.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.2.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.2.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.2.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.2.2.6.2.4

Chia $6 x^{3}$ cho $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$6 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.2.3.3

Nhân $3$ với $4$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Bước 2.2.4

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 (2 x)$

Bước 2.2.4.3

Nhân $2$ với $3$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Bước 3.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $6 x$ ra ngoài $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Đưa $6 x$ ra ngoài $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Bước 3.2.1.2

Đưa $6 x$ ra ngoài $12 x^{2}$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x = 0$

Bước 3.2.1.3

Đưa $6 x$ ra ngoài $6 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x (1) = 0$

Bước 3.2.1.4

Đưa $6 x$ ra ngoài $6 x (x^{2}) + 6 x (2 x)$ .

$6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1) = 0$

Bước 3.2.1.5

Đưa $6 x$ ra ngoài $6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1)$ .

$6 x (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Bước 3.2.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Bước 3.2.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Bước 3.2.2.3

Viết lại đa thức này.

$6 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Bước 3.2.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$6 x {(x + 1)}^{2} = 0$

Bước 3.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Bước 3.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 3.5

Đặt ${(x + 1)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đặt ${(x + 1)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Bước 3.5.2

Giải ${(x + 1)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Đặt $x + 1$ bằng $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 3.5.2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 3.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $6 x {(x + 1)}^{2} = 0$ đúng.

$x = 0, - 1$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $0$ trong $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Bước 4.1.2.1.2

Nhân $\frac{3}{10}$ với $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Bước 4.1.2.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + {(0)}^{3}$

Bước 4.1.2.1.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Bước 4.1.2.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0$

Bước 4.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $0$ trong $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ là $(0, 0)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(0, 0)$

Bước 4.3

Thay $- 1$ trong $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot {(- 1)}^{5} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Bước 4.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $5$ .

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Bước 4.3.2.1.2

Nhân $\frac{3}{10} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.2.1

Kết hợp $\frac{3}{10}$ và $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{3 \cdot - 1}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Bước 4.3.2.1.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Bước 4.3.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Bước 4.3.2.1.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 + {(- 1)}^{3}$

Bước 4.3.2.1.5

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 - 1$

Bước 4.3.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} - 1$

Bước 4.3.2.2.2

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} \cdot \frac{10}{10} - 1$

Bước 4.3.2.2.3

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} - 1$

Bước 4.3.2.2.4

Viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1}$

Bước 4.3.2.2.5

Nhân $\frac{- 1}{1}$ với $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{10}{10}$

Bước 4.3.2.2.6

Nhân $\frac{- 1}{1}$ với $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}$

Bước 4.3.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 1 \cdot 10}{10}$

Bước 4.3.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.1

Nhân $- 1$ với $10$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 10}{10}$

Bước 4.3.2.4.2

Cộng $- 3$ và $10$ .

$f (- 1) = \frac{7 - 10}{10}$

Bước 4.3.2.4.3

Trừ $10$ khỏi $7$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{10}$

Bước 4.3.2.4.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- 1) = - \frac{3}{10}$

Bước 4.3.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{3}{10}$ .

$- \frac{3}{10}$

Bước 4.4

Tìm điểm bằng cách thay thế $- 1$ trong $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ là $(- 1, - \frac{3}{10})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(- 1, - \frac{3}{10})$

Bước 4.5

Xác định các điểm có thể là điểm uốn.

$(0, 0), (- 1, - \frac{3}{10})$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 1)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1.1$ trong biểu thức.

$f'' (- 1.1) = 6 {(- 1.1)}^{3} + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $- 1.1$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 1.1) = 6 \cdot - 1.331 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Bước 6.2.1.2

Nhân $6$ với $- 1.331$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Bước 6.2.1.3

Nâng $- 1.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1)$

Bước 6.2.1.4

Nhân $12$ với $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 + 6 (- 1.1)$

Bước 6.2.1.5

Nhân $6$ với $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 - 6.6$

Bước 6.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Cộng $- 7.986$ và $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 6.534 - 6.6$

Bước 6.2.2.2

Trừ $6.6$ khỏi $6.534$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.066$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.066$ .

$- 0.066$

Bước 6.3

Tại $- 1.1$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.066$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, - 1)$

Giảm trên $(- \infty, - 1)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 1, 0)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{1}{2}$ trong biểu thức.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{8}$ vào tử số.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.5.3

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.5.5

Viết lại biểu thức.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{- 1}{4}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.6

Kết hợp $3$ và $\frac{- 1}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot - 1}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.7

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.9.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.9.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.10

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.11

Nhân $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ với $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.12

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.13

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.14

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.14.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.14.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (- \frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.15

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.15.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (\frac{- 1}{2})$

Bước 7.2.1.15.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 (3) (\frac{- 1}{2})$

Bước 7.2.1.15.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2}))$

Bước 7.2.1.15.4

Viết lại biểu thức.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 3 \cdot - 1$

Bước 7.2.1.16

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 - 3$

Bước 7.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} - 3$

Bước 7.2.2.2

Nhân $\frac{3}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4} - 3$

Bước 7.2.2.3

Nhân $\frac{3}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} - 3$

Bước 7.2.2.4

Viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1}$

Bước 7.2.2.5

Nhân $\frac{- 3}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 7.2.2.6

Nhân $\frac{- 3}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Bước 7.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 4}{4}$

Bước 7.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Nhân $3$ với $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 3 \cdot 4}{4}$

Bước 7.2.4.2

Nhân $- 3$ với $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 12}{4}$

Bước 7.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.5.1

Cộng $- 3$ và $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{9 - 12}{4}$

Bước 7.2.5.2

Trừ $12$ khỏi $9$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4}$

Bước 7.2.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4}$

Bước 7.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Bước 7.3

Tại $- \frac{1}{2}$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.75$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- 1, 0)$

Giảm trên $(- 1, 0)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.1$ trong biểu thức.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{3} + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nâng $0.1$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.001 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Bước 8.2.1.2

Nhân $6$ với $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Bước 8.2.1.3

Nâng $0.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 \cdot 0.01 + 6 (0.1)$

Bước 8.2.1.4

Nhân $12$ với $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 6 (0.1)$

Bước 8.2.1.5

Nhân $6$ với $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 0.6$

Bước 8.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Cộng $0.006$ và $0.12$ .

$f'' (0.1) = 0.126 + 0.6$

Bước 8.2.2.2

Cộng $0.126$ và $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.726$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0.726$ .

$0.726$

Bước 8.3

Tại $0.1$ , đạo hàm bậc hai là $0.726$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(0, \infty)$ .

Tăng trên $(0, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 9

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Bước 10