Giải tích Ví dụ

$\int_{- 1}^{1} e^{y} - y^{2} + 2 d y$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 1}^{1} e^{y} d y + \int_{- 1}^{1} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Bước 2

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$e^{y}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{y}]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} y^{2} d y + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$e^{y}]_{- 1}^{1} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{3}$ .

$e^{y}]_{- 1}^{1} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{y}]_{- 1}^{1} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 2 y]_{- 1}^{1}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $e^{y}]_{- 1}^{1}$ và $2 y]_{- 1}^{1}$ .

$e^{y} + 2 y]_{- 1}^{1} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Bước 7.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tính $e^{y} + 2 y$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$(e^{1} + 2 \cdot 1) - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Bước 7.2.2

Tính $\frac{y^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$(e^{1} + 2 \cdot 1) - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Rút gọn.

$e + 2 \cdot 1 - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Bước 7.2.3.5

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3})$

Bước 7.2.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3})$

Bước 7.2.3.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Bước 7.2.3.8

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

Bước 7.2.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - \frac{1 + 1}{3}$

Bước 7.2.3.10

Cộng $1$ và $1$ .

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - \frac{2}{3}$

Bước 7.2.3.11

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$e + 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Bước 7.2.3.12

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$e + \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Bước 7.2.3.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e + \frac{2 \cdot 3 - 2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Bước 7.2.3.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.14.1

Nhân $2$ với $3$ .

$e + \frac{6 - 2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Bước 7.2.3.14.2

Trừ $2$ khỏi $6$ .

$e + \frac{4}{3} - (e^{- 1} - 2)$

Bước 7.2.3.15

Để viết $- (e^{- 1} - 2)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$e + \frac{4}{3} - (e^{- 1} - 2) \cdot \frac{3}{3}$

Bước 7.2.3.16

Kết hợp $- (e^{- 1} - 2)$ và $\frac{3}{3}$ .

$e + \frac{4}{3} + \frac{- (e^{- 1} - 2) \cdot 3}{3}$

Bước 7.2.3.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e + \frac{4 - (e^{- 1} - 2) \cdot 3}{3}$

Bước 7.2.3.18

Nhân $3$ với $- 1$ .

$e + \frac{4 - 3 (e^{- 1} - 2)}{3}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e + \frac{4 - 3 (\frac{1}{e} - 2)}{3}$

Bước 8.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e + \frac{4 - 3 \frac{1}{e} - 3 \cdot - 2}{3}$

Bước 8.1.1.3

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{e}$ .

$e + \frac{4 + \frac{- 3}{e} - 3 \cdot - 2}{3}$

Bước 8.1.1.4

Nhân $- 3$ với $- 2$ .

$e + \frac{4 + \frac{- 3}{e} + 6}{3}$

Bước 8.1.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e + \frac{4 - \frac{3}{e} + 6}{3}$

Bước 8.1.1.6

Cộng $4$ và $6$ .

$e + \frac{10 - \frac{3}{e}}{3}$

Bước 8.1.1.7

Để viết $10$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e}{e}$ .

$e + \frac{\frac{10 e}{e} - \frac{3}{e}}{3}$

Bước 8.1.1.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e + \frac{\frac{10 e - 3}{e}}{3}$

Bước 8.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e + \frac{10 e - 3}{e} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 8.1.3

Nhân $\frac{10 e - 3}{e}$ với $\frac{1}{3}$ .

$e + \frac{10 e - 3}{e \cdot 3}$

Bước 8.1.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e$ .

$e + \frac{10 e - 3}{3 e}$

Bước 8.2

Để viết $e$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 e}{3 e}$ .

$e \cdot \frac{3 e}{3 e} + \frac{10 e - 3}{3 e}$

Bước 8.3

Kết hợp $e$ và $\frac{3 e}{3 e}$ .

$\frac{e (3 e)}{3 e} + \frac{10 e - 3}{3 e}$

Bước 8.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e (3 e) + 10 e - 3}{3 e}$

Bước 8.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e$ .

$\frac{3 \cdot e e + 10 e - 3}{3 e}$

Bước 8.5.2

Nhân $3 e e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.2.1

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 (e^{1} e) + 10 e - 3}{3 e}$

Bước 8.5.2.2

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 (e^{1} e^{1}) + 10 e - 3}{3 e}$

Bước 8.5.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 e^{1 + 1} + 10 e - 3}{3 e}$

Bước 8.5.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{3 e^{2} + 10 e - 3}{3 e}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3 e^{2} + 10 e - 3}{3 e}$

Dạng thập phân:

$5.68373572 \dots$

Bước 10