Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3

Chia $2 x^{2} + 5$ cho $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

Bước 3.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $2 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

							$2$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Bước 3.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					+	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$2$

Bước 3.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $2 x^{2} + 0 + 2$

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$

Bước 3.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$
									+	$3$

Bước 3.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int 2 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 d x + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Bước 5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 x + C + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Bước 6

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $1$ .

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 7.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Bước 8

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x) + C$ .

$2 x + C + 3 (\arctan (x) + C)$

Bước 9

Rút gọn.

$2 x + 3 \arctan (x) + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $2 x + 3 \arctan (x) + C$