Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x)$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x) d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{x^{3}}{2} d x + \int - \cos (3 x) d x$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int x^{3} d x + \int - \cos (3 x) d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \cos (3 x) d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \cos (3 x) d x$

Bước 7

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 7.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Bước 8

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \frac{\cos (u)}{3} d u$

Bước 9

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u)$

Bước 10

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{1}{3} (\sin (u) + C)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

Bước 11.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$