Giải tích Ví dụ

$2 \sin (x) + \sin (2 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sin (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.3.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 1.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Bước 1.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Bước 2.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos (2 x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Bước 2.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Bước 2.3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Bước 2.3.7

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$