Giải tích Ví dụ

$- x^{2} - y + 5 y^{2} = - 5$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (- x^{2} - y + 5 y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 5)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x^{2} - y + 5 y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 2 x - \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 2 x - y' + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 y^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 2 x - y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$- 2 x - y' + 5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 x - y' + 5 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$- 2 x - y' + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.4.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 2 x - y' + 5 (2 y y')$

Bước 2.4.4

Nhân $2$ với $5$ .

$- 2 x - y' + 10 y y'$

Bước 2.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$10 y y' - 2 x - y'$

Bước 3

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$10 y y' - 2 x - y' = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $2 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$10 y y' - y' = 2 x$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $10 y y' - y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $10 y y'$ .

$y' (10 y) - y' = 2 x$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- y'$ .

$y' (10 y) + y' \cdot - 1 = 2 x$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (10 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (10 y - 1) = 2 x$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (10 y - 1) = 2 x$ cho $10 y - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (10 y - 1) = 2 x$ cho $10 y - 1$ .

$\frac{y' (10 y - 1)}{10 y - 1} = \frac{2 x}{10 y - 1}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $10 y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (10 y - 1)}{10 y - 1} = \frac{2 x}{10 y - 1}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{2 x}{10 y - 1}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{10 y - 1}$