Giải tích Ví dụ

$y = \cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (x)$ .

$4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$4 \cos^{3} (x) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Bước 2.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin^{4} (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sin (x)$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (x)$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 \sin^{3} (x) \cos (x))$

Bước 3.4

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $4 \cos (x) \sin (x)$ ra ngoài $- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa $4 \cos (x) \sin (x)$ ra ngoài $- 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Bước 4.1.2

Đưa $4 \cos (x) \sin (x)$ ra ngoài $- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) + 4 \cos (x) \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Bước 4.1.3

Đưa $4 \cos (x) \sin (x)$ ra ngoài $4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) + 4 \cos (x) \sin (x) (- \sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Bước 4.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos^{2} (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x))$

Bước 4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin^{2} (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x)))$

Bước 4.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)))$

Bước 4.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)))$

Bước 4.6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$4 \cos (x) \sin (x) (- 1 \cdot 1)$

Bước 4.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$4 \cos (x) \sin (x) \cdot - 1$

Bước 4.8

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x)$