Giải tích Ví dụ

$\int_{- 4}^{0} (\frac{y}{4} + \sqrt{y + 5}) d y$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{- 4}^{0} \frac{y}{4} + \sqrt{y + 5} d y$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 4}^{0} \frac{y}{4} d y + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int_{- 4}^{0} y d y + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

Bước 5

Giả sử $u = y + 5$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = y + 5$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $y + 5$ .

$\frac{d}{d y} [y + 5]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 5$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [5]$

Bước 5.1.4

Vì $5$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $5$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 5.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $y$ trong $u = y + 5$ .

$u_{lower} = - 4 + 5$

Bước 5.3

Cộng $- 4$ và $5$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $y$ trong $u = y + 5$ .

$u_{upper} = 0 + 5$

Bước 5.5

Cộng $0$ và $5$ .

$u_{upper} = 5$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Bước 6

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\frac{1}{2} y^{2}$ tại $0$ và tại $- 4$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Bước 8.2

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $5$ và tại $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.3

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{2} \cdot 16) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.4

Nhân $16$ với $- 1$ .

$\frac{1}{4} (0 - 16 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.5

Kết hợp $- 16$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{- 16}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 16$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} (0 + \frac{- 8}{1}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.6.2.4

Chia $- 8$ cho $1$ .

$\frac{1}{4} (0 - 8) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.7

Trừ $8$ khỏi $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 8 + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.8

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $- 8$ .

$\frac{- 8}{4} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.9

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.9.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 8$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{4} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.9.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2}{1} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.9.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$- 2 + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.10

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $5^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.11

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Bước 8.3.12

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Bước 8.3.13

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Bước 8.3.14

Kết hợp $- 2$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Bước 8.3.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 2 \cdot 3 - 2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Bước 8.3.16

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.16.1

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{- 6 - 2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Bước 8.3.16.2

Trừ $2$ khỏi $- 6$ .

$\frac{- 8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Bước 8.3.17

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Dạng thập phân:

$4.78689325 \dots$

Bước 10