Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{4 x^{2} + 2 x - 1}{9 x^{2} - x - 3}}$

Bước 1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + 2 x - 1}{9 x^{2} - x - 3}}$

Bước 2

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{2}$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Bước 3.1.1.2

Chia $4$ cho $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Bước 3.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Bước 3.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Bước 3.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Bước 3.2.1.2

Chia $9$ cho $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Bước 3.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Bước 3.2.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Bước 3.2.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Bước 3.2.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{1}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Bước 3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Bước 3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Bước 3.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Bước 3.5

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\sqrt{\frac{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Bước 3.6

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Bước 4

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to - \infty} 9 - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to - \infty} 9 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $9$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - 0}{9 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}$

Bước 7

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - 0}{9 - 0 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}$

Bước 8

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - 0}{9 - 0 - 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 9

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot 0 - 0}{9 - 0 - 3 \cdot 0}}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 0 - 0}{9 - 0 - 3 \cdot 0}}$

Bước 10.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 0 + 0}{9 - 0 - 3 \cdot 0}}$

Bước 10.3

Cộng $4 + 0$ và $0$ .

$\sqrt{\frac{4 + 0}{9 - 0 - 3 \cdot 0}}$

Bước 10.4

Cộng $4$ và $0$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 - 0 - 3 \cdot 0}}$

Bước 10.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 + 0 - 3 \cdot 0}}$

Bước 10.6

Nhân $- 3$ với $0$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 + 0 + 0}}$

Bước 10.7

Cộng $9 + 0$ và $0$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 + 0}}$

Bước 10.8

Cộng $9$ và $0$ .

$\sqrt{\frac{4}{9}}$

Bước 10.9

Viết lại $\sqrt{\frac{4}{9}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$

Bước 10.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{9}}$

Bước 10.10.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{2}{\sqrt{9}}$

Bước 10.11

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.11.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3^{2}}}$

Bước 10.11.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{2}{3}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2}{3}$

Dạng thập phân:

$0.\overline{6}$