Giải tích Ví dụ

$y = 2 x^{2} - x^{2} \sin (x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - x^{2} \sin (x))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} - x^{2} \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Bước 3.2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2} \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$4 x - (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$4 x - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 x - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 x - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x))$

Bước 3.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 x - x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x$

Bước 3.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$