Giải tích Ví dụ

$2 \int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 2.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Bước 2.2.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Bước 2.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 2.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Bước 3

Đưa $\sin^{2} (t)$ ra ngoài.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Bước 4

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sin^{2} (t)$ ở dạng $1 - \cos^{2} (t)$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Bước 5

Giả sử $u = \cos (t)$ . Sau đó $d u = - \sin (t) d t$ , nên $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = \cos (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Bước 5.1.2

Đạo hàm của $\cos (t)$ đối với $t$ là $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = \cos (t)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Bước 5.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = \cos (t)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Bước 5.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{1}^{0} (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Bước 6

Nhân $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$2 \int_{1}^{0} - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $- 1 u^{2}$ ở dạng $- u^{2}$ .

$2 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 7.2

Nhân $u^{2}$ với $u^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Bước 7.2.2

Cộng $2$ và $2$ .

$2 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{4} d u$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 (\int_{1}^{0} - u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (- \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Bước 11

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$2 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$2 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0})$

Bước 13

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $u^{5}$ .

$2 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

Bước 14

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Tính $\frac{u^{3}}{3}$ tại $0$ và tại $1$ .

$2 (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

Bước 14.2

Tính $\frac{u^{5}}{5}$ tại $0$ và tại $1$ .

$2 (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Bước 14.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$2 (- (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Bước 14.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$2 (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Bước 14.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$2 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Bước 14.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Bước 14.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (- (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Bước 14.3.2.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$2 (- (0 - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Bước 14.3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 (- (0 - \frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Bước 14.3.4

Trừ $\frac{1}{3}$ khỏi $0$ .

$2 (- - \frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Bước 14.3.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$2 (1 (\frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Bước 14.3.6

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Bước 14.3.7

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{0}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Bước 14.3.8

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.8.1

Đưa $5$ ra ngoài $0$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{5 (0)}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Bước 14.3.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.8.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

Bước 14.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

Bước 14.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{1}{3} + \frac{0}{1} - \frac{1^{5}}{5})$

Bước 14.3.8.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$2 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1^{5}}{5})$

Bước 14.3.9

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1}{5})$

Bước 14.3.10

Trừ $\frac{1}{5}$ khỏi $0$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

Bước 14.3.11

Để viết $\frac{1}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Bước 14.3.12

Để viết $- \frac{1}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Bước 14.3.13

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.13.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Bước 14.3.13.2

Nhân $3$ với $5$ .

$2 (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Bước 14.3.13.3

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

Bước 14.3.13.4

Nhân $5$ với $3$ .

$2 (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

Bước 14.3.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{5 - 3}{15}$

Bước 14.3.15

Trừ $3$ khỏi $5$ .

$2 (\frac{2}{15})$

Bước 14.3.16

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{15}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{15}$

Bước 14.3.17

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4}{15}$

Bước 15

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{4}{15}$

Dạng thập phân:

$0.2\overline{6}$

Bước 16