Giải tích Ví dụ

Let $h (x) = \frac{e^{2 x}}{x - 3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{2 x}$ và $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(x - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $(x - 3) e^{2 x}$ .

$\frac{2 \cdot ((x - 3) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.6

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.7.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.7.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x e^{2 x} + 2 \cdot - 3 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1

Nhân $2$ với $- 3$ .

$\frac{2 x e^{2 x} - 6 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.3.2

Trừ $e^{2 x}$ khỏi $- 6 e^{2 x}$ .

$\frac{2 x e^{2 x} - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.5

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.5.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $2 e^{2 x} x$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.5.2

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $- 7 e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.5.3

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7$ .

$f' (x) = \frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $h (x)$ đối với $x$ là $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$e^{2 x} (2 x - 7) = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{2 x} = 0$

$2 x - 7 = 0$

Bước 2.3.2

Đặt $e^{2 x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Đặt $e^{2 x}$ bằng với $0$ .

$e^{2 x} = 0$

Bước 2.3.2.2

Giải $e^{2 x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Bước 2.3.2.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 2.3.2.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{2 x} = 0$

Không có đáp án

Bước 2.3.3

Đặt $2 x - 7$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Đặt $2 x - 7$ bằng với $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Bước 2.3.3.2

Giải $2 x - 7 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Cộng $7$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 7$

Bước 2.3.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 7$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 7$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Bước 2.3.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $e^{2 x} (2 x - 7) = 0$ đúng.

$x = \frac{7}{2}$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đặt $x - 3$ bằng $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 3.2.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 4

Tính $\frac{e^{2 x}}{x - 3}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = \frac{7}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $\frac{7}{2}$ bằng $x$ .

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{(\frac{7}{2}) - 3}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{\frac{7}{2} - 3}$

Bước 4.1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3}$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 4.1.2.2.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}}$

Bước 4.1.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 3 \cdot 2}{2}}$

Bước 4.1.2.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.4.1

Nhân $- 3$ với $2$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 6}{2}}$

Bước 4.1.2.2.4.2

Trừ $6$ khỏi $7$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{1}{2}}$

Bước 4.1.2.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e^{7} \cdot 2$

Bước 4.1.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{7}$ .

$2 e^{7}$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $3$ bằng $x$ .

$\frac{e^{2 (3)}}{(3) - 3}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$\frac{e^{2 (3)}}{0}$

Bước 4.2.2.2

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(\frac{7}{2}, 2 e^{7})$

Bước 5