Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

Bước 1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

Bước 2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại.

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

Bước 3.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} - e^{- x} d x$

Bước 3.3

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} - e^{- x} d x$

Bước 3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

Bước 3.5

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 3.5.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 3.5.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 3.5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Bước 3.5.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 3.5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{upper} = - t$

Bước 3.5.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

Bước 3.5.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

Bước 3.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Bước 3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} 1 \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Bước 3.7.2

Nhân $\int_{0}^{- t} e^{u} d u$ với $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Bước 3.8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{u}]_{0}^{- t}$

Bước 3.9

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1.1

Tính $e^{u}$ tại $- t$ và tại $0$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} (e^{- t}) - e^{0}$

Bước 3.9.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

Bước 3.9.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Bước 3.9.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 3.10

Vì số mũ $- t$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{- t}$ tiến dần đến $0$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 3.11

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - 1 \cdot 1)$

Bước 3.11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.1

Trừ $1 \cdot 1$ khỏi $0$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Bước 3.11.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.2.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$- 1 \cdot x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Bước 3.11.2.2.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Bước 3.11.2.2.3

Nhân $- (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.2.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - - 1$

Bước 3.11.2.2.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} + 1$