Giải tích Ví dụ

$\int x {(x + 2)}^{4} d x$

Bước 1

Không thể hoàn thành tích phân này bằng tích phân từng phần. Mathway sẽ sử dụng một phương pháp khác.

Bước 2

Giả sử $u = x + 2$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (u - 2) u^{4} d u$

Bước 3

Nhân $(u - 2) u^{4}$ .

$\int u \cdot u^{4} - 2 u^{4} d u$

Bước 4

Nhân $u$ với $u^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $u$ với $u^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u^{1} u^{4} - 2 u^{4} d u$

Bước 4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{1 + 4} - 2 u^{4} d u$

Bước 4.2

Cộng $1$ và $4$ .

$\int u^{5} - 2 u^{4} d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{5} d u + \int - 2 u^{4} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{5}$ đối với $u$ là $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int - 2 u^{4} d u$

Bước 7

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 \int u^{4} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

$\frac{1}{6} u^{6} - 2 (\frac{1}{5}) u^{5} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{- 2}{5} u^{5} + C$

Bước 9.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{2}{5} u^{5} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 2$ .

$\frac{1}{6} {(x + 2)}^{6} - \frac{2}{5} {(x + 2)}^{5} + C$