Giải tích Ví dụ

$y' = 2 x y$ , $y = c e^{x^{2}}$ , $y (0) = 1$

Bước 1

Kiểm tra xem đáp án đã cho có thỏa mãn phương trình vi phân đã cho không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{x^{2}})$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 1.1.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $c$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $c e^{x^{2}}$ đối với $x$ là $c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$c e^{x^{2}} (2 x)$

Bước 1.1.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $c e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} c x$

Bước 1.1.3.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{x^{2}} c x$ .

$2 c x e^{x^{2}}$

Bước 1.1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 2 c x e^{x^{2}}$

Bước 1.2

Thay vào phương trình vi phân đã cho.

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$

Bước 1.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$ .

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x c e^{x^{2}}$

Bước 1.4

Đáp án đã cho thỏa mãn phương trình vi phân đã cho.

$y = c e^{x^{2}}$ là đáp án của $y' = 2 x y$

Bước 2

Thay vào điều kiện ban đầu.

$1 = c e^{0^{2}}$

Bước 3

Giải tìm $c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $c e^{0^{2}} = 1$ .

$c e^{0^{2}} = 1$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $c e^{0^{2}} = 1$ cho $e^{0^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $c e^{0^{2}} = 1$ cho $e^{0^{2}}$ .

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{0^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $c$ cho $1$ .

$c = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Bước 3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$c = \frac{1}{e^{0}}$

Bước 3.2.3.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$c = \frac{1}{1}$

Bước 3.2.3.2

Chia $1$ cho $1$ .

$c = 1$