Giải tích Ví dụ

$y = x^{n} {(a + b x)}^{m}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{n}$ và $g (x) = {(a + b x)}^{m}$ .

$x^{n} \frac{d}{d x} [{(a + b x)}^{m}] + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{m}$ và $g (x) = a + b x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $a + b x$ .

$x^{n} (\frac{d}{d u} [u^{m}] \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = m$ .

$x^{n} (m u^{m - 1} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $a + b x$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a + b x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x])) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Bước 3.2

Vì $a$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $a$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (0 + \frac{d}{d x} [b x])) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [b x]$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} \frac{d}{d x} [b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Bước 3.4

Vì $b$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $b x$ đối với $x$ là $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (b \frac{d}{d x} [x])) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (b \cdot 1)) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Bước 3.6

Nhân $b$ với $1$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} b) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = n$ .

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} b) + {(a + b x)}^{m} (n x^{n - 1})$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$x^{n} b m {(a + b x)}^{m - 1} + x^{n - 1} n {(a + b x)}^{m}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $x^{n} b m {(a + b x)}^{m - 1} + x^{n - 1} n {(a + b x)}^{m}$ .

$b m x^{n} {(a + b x)}^{m - 1} + n x^{n - 1} {(a + b x)}^{m}$