Giải tích Ví dụ

$f (x) = {\begin{cases} 4 e^{x - 2} + a x - 3 a & x < 2 \\ x^{3} + a x^{2} + 5 & x \geq 2 \end{cases}$

Bước 1

Tìm giới hạn của $4 e^{x - 2} + a x - 3 a$ khi $x$ tiến dần đến $2$ từ phía bên trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay đổi giới hạn hai bên thành giới hạn trái.

$lim_{x \to 2^{-}} 4 e^{x - 2} + a x - 3 a$

Bước 1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$lim_{x \to 2^{-}} 4 e^{x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Bước 1.3

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$4 lim_{x \to 2^{-}} e^{x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Bước 1.4

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Bước 1.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Bước 1.6

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Bước 1.7

Chuyển số hạng $a$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Bước 1.8

Tính giới hạn của $3 a$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - 3 a$

Bước 1.9

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $2$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$4 e^{2 - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - 3 a$

Bước 1.9.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$4 e^{2 - 1 \cdot 2} + a \cdot 2 - 3 a$

Bước 1.10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 e^{2 - 2} + a \cdot 2 - 3 a$

Bước 1.10.1.2

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$4 e^{0} + a \cdot 2 - 3 a$

Bước 1.10.1.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$4 \cdot 1 + a \cdot 2 - 3 a$

Bước 1.10.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + a \cdot 2 - 3 a$

Bước 1.10.1.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $a$ .

$4 + 2 a - 3 a$

Bước 1.10.2

Trừ $3 a$ khỏi $2 a$ .

$4 - a$

Bước 2

Tính $x^{3} + a x^{2} + 5$ tại $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

${(2)}^{3} + a {(2)}^{2} + 5$

Bước 2.2

Tính.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$8 + a {(2)}^{2} + 5$

Bước 2.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$8 + a \cdot 4 + 5$

Bước 2.2.1.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $a$ .

$8 + 4 a + 5$

Bước 2.2.2

Cộng $8$ và $5$ .

$4 a + 13$

Bước 3

Vì giới hạn của $4 e^{x - 2} + a x - 3 a$ khi $x$ tiến dần đến $2$ từ phía bên trái không bằng với giá trị hàm số tại $x = 2$ , nên hàm số không liên tục tại $x = 2$ .

Không liên tục

Bước 4