Giải tích Ví dụ

$y = \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Bước 2

Nhân các số mũ trong ${(e^{x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 4

Kết hợp $e^{x}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 5

Nhân $\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$ với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp.

$\frac{x (\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Bước 6.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) e^{x})}{x e^{2 x}}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{e^{x} - x e^{x} \ln (x)}{x e^{2 x}}$

Bước 8.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- e^{x} x \ln (x) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

Bước 8.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- e^{x} x \ln (x) + e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- e^{x} x \ln (x)$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

Bước 8.3.2

Nhân với $1$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x} x}$

Bước 8.3.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x) + 1)}{e^{2 x} x}$

Bước 8.4

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{x}$ và $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $e^{x} (- x \ln (x) + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

Bước 8.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $e^{2 x} x$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} (x)}$

Bước 8.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

Bước 8.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{- x} (- x \ln (x) + 1)}{x}$

Bước 8.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x \ln (x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) + 1)}{x}$

Bước 8.6

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

Bước 8.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x \ln (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x) - 1))}{x}$

Bước 8.8

Viết lại $- (x \ln (x) - 1)$ ở dạng $- 1 (x \ln (x) - 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (x \ln (x) - 1))}{x}$

Bước 8.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{e^{- x} (x \ln (x) - 1)}{x}$