Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) \sin (2 t) d t$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \cos (2 t)$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 \sin (2 t) d t$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \cos (2 t)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\cos (2 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \cos (t)$ và $g (t) = 2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 t$ .

$- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])$

Bước 1.1.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 t) \cdot 1$

Bước 1.1.3.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 \sin (2 t)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u_{2} = \cos (2 t)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{4})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 (2)})$

Bước 1.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Bước 1.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{2})$

Bước 1.3.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u_{2} = \cos (2 t)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

Bước 1.5.1.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \cos (π)$

Bước 1.5.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$u_{upper} = - \cos (0)$

Bước 1.5.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Bước 1.5.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Bước 3

Nhân $(1 - u_{2}) (- \frac{1}{2})$ .

$\int_{0}^{- 1} 1 (- \frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int_{0}^{- 1} - 1 (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Bước 4.2

Viết lại $- 1 (\frac{1}{2})$ ở dạng $- (\frac{1}{2})$ .

$\int_{0}^{- 1} - (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Bước 4.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + 1 u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 4.4

Nhân $u_{2}$ với $1$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 4.5

Kết hợp $u_{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} u_{2} d u_{2}$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $- \frac{1}{2} u_{2}$ tại $- 1$ và tại $0$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot - 1) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

Bước 9.2

Tính $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ tại $- 1$ và tại $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 9.3.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 9.3.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $0$ .

$\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 9.3.4

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 9.3.5

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 9.3.6

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 9.3.7

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Bước 9.3.8

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Bước 9.3.9

Nhân $0$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Bước 9.3.10

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 9.3.11

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

Bước 9.3.12

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Bước 9.3.13

Để viết $\frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}$

Bước 9.3.14

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.14.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}$

Bước 9.3.14.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4}$

Bước 9.3.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 + 1}{4}$

Bước 9.3.16

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{3}{4}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3}{4}$

Dạng thập phân:

$0.75$