Giải tích Ví dụ

$π \int_{0}^{6} {(- x + 6)}^{2} d x$

Bước 1

Giả sử $u = - x + 6$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = - x + 6$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $- x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [- x + 6]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x + 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6$ đối với $x$ là $0$ .

$- 1 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $- 1$ và $0$ .

$- 1$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - x + 6$ .

$u_{lower} = - 0 + 6$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 6$

Bước 1.3.2

Cộng $0$ và $6$ .

$u_{lower} = 6$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - x + 6$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 6 + 6$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $- 1$ với $6$ .

$u_{upper} = - 6 + 6$

Bước 1.5.2

Cộng $- 6$ và $6$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 0$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$π \int_{6}^{0} - u^{2} d u$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$π (- \int_{6}^{0} u^{2} d u)$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$π (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{6}^{0}))$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$π (- (\frac{u^{3}}{3}]_{6}^{0}))$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{u^{3}}{3}$ tại $0$ và tại $6$ .

$π (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{6^{3}}{3}))$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$π (- (\frac{0}{3} - \frac{6^{3}}{3}))$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$π (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{6^{3}}{3}))$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$π (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{6^{3}}{3}))$

Bước 5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$π (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{6^{3}}{3}))$

Bước 5.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$π (- (\frac{0}{1} - \frac{6^{3}}{3}))$

Bước 5.2.2.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$π (- (0 - \frac{6^{3}}{3}))$

Bước 5.2.3

Nâng $6$ lên lũy thừa $3$ .

$π (- (0 - \frac{216}{3}))$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $216$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $216$ .

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3}))$

Bước 5.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3 (1)}))$

Bước 5.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1}))$

Bước 5.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$π (- (0 - \frac{72}{1}))$

Bước 5.2.4.2.4

Chia $72$ cho $1$ .

$π (- (0 - 1 \cdot 72))$

Bước 5.2.5

Nhân $- 1$ với $72$ .

$π (- (0 - 72))$

Bước 5.2.6

Trừ $72$ khỏi $0$ .

$π (- - 72)$

Bước 5.2.7

Nhân $- 1$ với $- 72$ .

$π \cdot 72$

Bước 5.2.8

Di chuyển $72$ sang phía bên trái của $π$ .

$72 π$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$72 π$

Dạng thập phân:

$226.19467105 \dots$

Bước 7