Giải tích Ví dụ

$\int (- 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x)) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int - 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 3 \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Bước 3

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$- 3 \int \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Bước 4

Vì đạo hàm của $- \cot (x)$ là $\csc^{2} (x)$ , tích phân của $\csc^{2} (x)$ là $- \cot (x)$ .

$- 3 (- \cot (x) + C) + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Bước 5

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = \csc (2 x)$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = \csc (2 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Bước 6.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \csc (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 6.1.2.2

Đạo hàm của $\csc (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 6.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6.1.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Bước 6.1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.4.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Bước 6.1.3.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $u_{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

Bước 9.2.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$3 \cot (x) - 4 \frac{u_{2}}{2} + C$

Bước 9.2.3

Kết hợp $- 4$ và $\frac{u_{2}}{2}$ .

$3 \cot (x) + \frac{- 4 u_{2}}{2} + C$

Bước 9.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 u_{2}$ .

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2} + C$

Bước 9.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 (1)} + C$

Bước 9.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 \cdot 1} + C$

Bước 9.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 \cot (x) + \frac{- 2 u_{2}}{1} + C$

Bước 9.2.4.2.4

Chia $- 2 u_{2}$ cho $1$ .

$3 \cot (x) - 2 u_{2} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\csc (2 x)$ .

$3 \cot (x) - 2 \csc (2 x) + C$