Giải tích Ví dụ

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{5} - \frac{1}{3} x^{- 3} - 6 x^{2} - \frac{1}{5} x$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{1}{2} x^{5} - \frac{1}{3} x^{- 3} - 6 x^{2} - \frac{1}{5} x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{2} x^{5}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$- \frac{1}{2} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Bước 1.2.3

Nhân $5$ với $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{2}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Bước 1.2.5

Kết hợp $\frac{- 5}{2}$ và $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Bước 1.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- \frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 3$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} - \frac{1}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Bước 1.3.3

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Bước 1.3.4

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Bước 1.3.5

Kết hợp $\frac{3}{3}$ và $x^{- 4}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3 x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Bước 1.3.6

Di chuyển $x^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Bước 1.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Bước 1.3.7.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x^{2}$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Bước 1.4.3

Nhân $2$ với $- 6$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Bước 1.5

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $- \frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{5} x$ đối với $x$ là $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x - \frac{1}{5} \cdot 1$

Bước 1.5.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x - \frac{1}{5}$

Bước 1.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - \frac{5 x^{4}}{2} - 12 x + \frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{5}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{5 x^{4}}{2} - 12 x + \frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{5}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- \frac{5}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{5 x^{4}}{2}$ đối với $x$ là $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$- \frac{5}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.2.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 4 (\frac{5}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.2.4

Kết hợp $- 4$ và $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.2.5

Nhân $- 4$ với $5$ .

$\frac{- 20}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.2.6

Kết hợp $\frac{- 20}{2}$ và $x^{3}$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 20$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 20 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 10 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (- 10 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- 10 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 10 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.2.7.2.4

Chia $- 10 x^{3}$ cho $1$ .

$- 10 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 12 x$ đối với $x$ là $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 10 x^{3} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.3.3

Nhân $- 12$ với $1$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại $\frac{1}{x^{4}}$ ở dạng ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{4}$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- 10 x^{3} - 12 - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$- 10 x^{3} - 12 - {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.4.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.4.4.2

Nhân $4$ với $- 2$ .

$- 10 x^{3} - 12 - x^{- 8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.4.5

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{- 8} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.4.6

Nhân $x^{- 8}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 (x^{3} x^{- 8}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.4.6.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{3 - 8} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.4.6.3

Trừ $8$ khỏi $3$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Bước 2.5

Vì $- \frac{1}{5}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- \frac{1}{5}$ đối với $x$ là $0$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{- 5} + 0$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Bước 2.6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{- 4}{x^{5}} + 0$

Bước 2.6.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 10 x^{3} - 12 - \frac{4}{x^{5}} + 0$

Bước 2.6.2.3

Cộng $- 10 x^{3} - 12 - \frac{4}{x^{5}}$ và $0$ .

$- 10 x^{3} - 12 - \frac{4}{x^{5}}$

Bước 2.6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = - 10 x^{3} - \frac{4}{x^{5}} - 12$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- 10 x^{3} - \frac{4}{x^{5}} - 12$ .

$- 10 x^{3} - \frac{4}{x^{5}} - 12$