Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\sec^{2} (8 x)}{\tan (8 x) - 6} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \tan (8 x) - 6$ . Sau đó $d u_{2} = 8 \sec^{2} (8 x) d x$ , nên $\frac{1}{8} d u_{2} = \sec^{2} (8 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \tan (8 x) - 6$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\tan (8 x) - 6$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (8 x) - 6]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\tan (8 x) - 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\tan (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\tan (8 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $8 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 1.1.3.1.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 1.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $8 x$ .

$\sec^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 1.1.3.2

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec^{2} (8 x) (8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 1.1.3.4

Nhân $8$ với $1$ .

$\sec^{2} (8 x) \cdot 8 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 1.1.3.5

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (8 x)$ .

$8 \sec^{2} (8 x) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 6$ đối với $x$ là $0$ .

$8 \sec^{2} (8 x) + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $8 \sec^{2} (8 x)$ và $0$ .

$8 \sec^{2} (8 x)$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

Bước 2.2

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{8} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Bước 5

Rút gọn.

$\frac{1}{8} \ln (| u_{2} |) + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\tan (8 x) - 6$ .

$\frac{1}{8} \ln (| \tan (8 x) - 6 |) + C$