Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \tan (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + x}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 \tan (- 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Bước 1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} \tan (- 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Bước 1.2.1.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì tang liên tục.

$\frac{4 \tan (lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Bước 1.2.1.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$\frac{4 \tan (- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Bước 1.2.1.4

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$\frac{4 \tan (- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Bước 1.2.1.5

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{4 \tan (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Bước 1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 1$ cho $x$ .

$\frac{4 \tan (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Bước 1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{4 \tan (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Bước 1.2.3.1.2

Nhân $- 1 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{4 \tan (- 2 - 2 \cdot - 1)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Bước 1.2.3.1.2.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{4 \tan (- 2 + 2)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Bước 1.2.3.2

Cộng $- 2$ và $2$ .

$\frac{4 \tan (0)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Bước 1.2.3.3

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Bước 1.2.3.4

Nhân $4$ với $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Bước 1.3.2

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Bước 1.3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Bước 1.3.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Bước 1.3.5

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- 1$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 1$ cho $x$ .

$\frac{0}{e^{- 1 + 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Bước 1.3.5.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 1$ cho $x$ .

$\frac{0}{e^{- 1 + 1} - 1}$

Bước 1.3.6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1}$

Bước 1.3.6.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Bước 1.3.6.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.6.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.7

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \tan (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + x} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \tan (- 2 - 2 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \tan (- 2 - 2 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Bước 3.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \tan (- 2 - 2 x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\tan (- 2 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\tan (- 2 - 2 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = - 2 - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 2 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 2 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (\sec^{2} (- 2 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Bước 3.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Bước 3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Bước 3.6

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Bước 3.7

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Bước 3.8

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Bước 3.9

Nhân $- 2$ với $4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Bước 3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Bước 3.11

Nhân $- 8$ với $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Bước 3.12

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x + 1} + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.13

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.13.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.13.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.13.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.13.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.13.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.13.5

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.13.6

Nhân $e^{x + 1}$ với $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 3.14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + 1}$

Bước 4

Chuyển số hạng $- 8$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- 8 lim_{x \to - 1} \frac{\sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + 1}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$- 8 \frac{lim_{x \to - 1} \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Bước 6

Đưa số mũ $2$ từ $\sec^{2} (- 2 - 2 x)$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$- 8 \frac{{(lim_{x \to - 1} \sec (- 2 - 2 x))}^{2}}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Bước 7

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì secant liên tục.

$- 8 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Bước 9

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Bước 10

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Bước 11

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + lim_{x \to - 1} 1}$

Bước 12

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + lim_{x \to - 1} 1}$

Bước 13

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{e^{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1} + lim_{x \to - 1} 1}$

Bước 14

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + lim_{x \to - 1} 1}$

Bước 15

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + 1}$

Bước 16

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- 1$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 1$ cho $x$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + 1}$

Bước 16.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 1$ cho $x$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Bước 17

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Bước 17.1.1.2

Nhân $- 1 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 2 - 2 \cdot - 1)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Bước 17.1.1.2.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 2 + 2)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Bước 17.1.2

Cộng $- 2$ và $2$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (0)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Bước 17.1.3

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$- 8 \frac{1^{2}}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Bước 17.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 8 \frac{1}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Bước 17.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$- 8 \frac{1}{e^{0} + 1}$

Bước 17.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- 8 \frac{1}{1 + 1}$

Bước 17.2.3

Cộng $1$ và $1$ .

$- 8 (\frac{1}{2})$

Bước 17.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 8$ .

$2 (- 4) \frac{1}{2}$

Bước 17.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 4 \frac{1}{2}$

Bước 17.3.3

Viết lại biểu thức.

$- 4$