Giải tích Ví dụ

$4 x^{2} y^{7} - 2 x = x^{5} + 4 y^{3}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (4 x^{2} y^{7} - 2 x) = \frac{d}{d y} (x^{5} + 4 y^{3})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} y^{7} - 2 x$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $4 x^{2} y^{7}$ đối với $y$ là $4 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{7}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = x^{2}$ và $g (y) = y^{7}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{7}] + y^{7} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{2}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Bước 2.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 u \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Bước 2.2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 x \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Bước 2.2.5

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 x x')) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Bước 2.2.6

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$4 (7 \cdot x^{2} y^{6} + y^{7} (2 x x')) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Bước 2.2.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{7}$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $y$ là $- 2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') - 2 \frac{d}{d y} [x]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') - 2 x'$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (7 x^{2} y^{6}) + 4 (2 y^{7} x x') - 2 x'$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhân $7$ với $4$ .

$28 (x^{2} y^{6}) + 4 (2 y^{7} x x') - 2 x'$

Bước 2.4.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$28 x^{2} y^{6} + 8 y^{7} x x' - 2 x'$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{5} + 4 y^{3}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d y} [x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{5}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Bước 3.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Bước 3.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x$ .

$5 x^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Bước 3.2.2

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$5 x^{4} x' + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $4 y^{3}$ đối với $y$ là $4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$5 x^{4} x' + 4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$5 x^{4} x' + 4 (3 y^{2})$

Bước 3.3.3

Nhân $3$ với $4$ .

$5 x^{4} x' + 12 y^{2}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$12 y^{2} + 5 x^{4} x'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x' = 12 y^{2} + 5 x^{4} x'$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $5 x^{4} x'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2}$

Bước 5.2

Trừ $28 y^{6} x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Bước 5.3

Đưa $x'$ ra ngoài $8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $x'$ ra ngoài $8 y^{7} x x'$ .

$x' (8 y^{7} x) - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Bước 5.3.2

Đưa $x'$ ra ngoài $- 2 x'$ .

$x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2 - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Bước 5.3.3

Đưa $x'$ ra ngoài $- 5 x^{4} x'$ .

$x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2 + x' (- 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Bước 5.3.4

Đưa $x'$ ra ngoài $x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2$ .

$x' (8 y^{7} x - 2) + x' (- 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Bước 5.3.5

Đưa $x'$ ra ngoài $x' (8 y^{7} x - 2) + x' (- 5 x^{4})$ .

$x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ cho $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ cho $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ .

$\frac{x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x' = \frac{12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Bước 5.4.3.2

Đưa $4 y^{2}$ ra ngoài $12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.2.1

Đưa $4 y^{2}$ ra ngoài $12 y^{2}$ .

$x' = \frac{4 y^{2} (3) - 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Bước 5.4.3.2.2

Đưa $4 y^{2}$ ra ngoài $- 28 y^{6} x^{2}$ .

$x' = \frac{4 y^{2} (3) + 4 y^{2} (- 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Bước 5.4.3.2.3

Đưa $4 y^{2}$ ra ngoài $4 y^{2} (3) + 4 y^{2} (- 7 y^{4} x^{2})$ .

$x' = \frac{4 y^{2} (3 - 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{4 y^{2} (3 - 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$