Giải tích Ví dụ

$\int x \cos (4 π x^{2}) d x$

Bước 1

Giả sử $u = 4 π x^{2}$ . Sau đó $d u = 8 \cdot x π d x$ , nên $\frac{1}{8 π} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 π x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 π x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 π x^{2}]$

Bước 1.1.2

Vì $4 π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 π x^{2}$ đối với $x$ là $4 π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 π (2 x)$

Bước 1.1.4

Nhân $2$ với $4$ .

$8 π x$

Bước 1.1.5

Sắp xếp lại $8 π$ và $x$ .

$x (8 π)$

Bước 1.1.6

Sắp xếp lại $x$ và $8$ .

$8 \cdot x π$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \cos (u) \frac{1}{8 π} d u$

Bước 2

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{8 π}$ .

$\int \frac{\cos (u)}{8 π} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{8 π}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8 π}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{8 π} \int \cos (u) d u$

Bước 4

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{8 π} (\sin (u) + C)$

Bước 5

Rút gọn.

$\frac{1}{8 π} \sin (u) + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 π x^{2}$ .

$\frac{1}{8 π} \sin (4 π x^{2}) + C$