Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1 + \ln (x)}{e^{x} - e}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1 + \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Bước 1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Bước 1.2.2

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Bước 1.2.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Bước 1.2.4

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Bước 1.2.5

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $1$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Bước 1.2.5.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Bước 1.2.6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Bước 1.2.6.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Bước 1.2.6.1.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Bước 1.2.6.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Bước 1.2.6.3

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} e^{x} - lim_{x \to 1} e}$

Bước 1.3.1.2

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} e}$

Bước 1.3.1.3

Tính giới hạn của $e$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 1} x} - e}$

Bước 1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{0}{e^{1} - e}$

Bước 1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Rút gọn.

$\frac{0}{e - e}$

Bước 1.3.3.2

Trừ $e$ khỏi $e$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1 + \ln (x)}{e^{x} - e} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1 + \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Bước 3.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Bước 3.5

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Bước 3.6

Cộng $2 x$ và $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} - e$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]}$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e]}$

Bước 3.9

Vì $- e$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- e$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{e^{x} + 0}$

Bước 3.10

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{e^{x}}$

Bước 4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để viết $2 x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x \cdot x}{x} + \frac{1}{x}}{e^{x}}$

Bước 4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x \cdot x + 1}{x}}{e^{x}}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \frac{2 x \cdot x + 1}{x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 1} 2 x \cdot x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 1} 2 x \cdot x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Bước 8

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Bước 9

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Bước 10

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Bước 11

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Bước 12

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $1$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Bước 12.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} x}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Bước 12.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{1}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Bước 12.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{1}}{e^{1}}$

Bước 13

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Chia $2 \cdot 1 \cdot 1 + 1$ cho $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{e^{1}}$

Bước 13.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Nhân $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 1}{e^{1}}$

Bước 13.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 + 1}{e^{1}}$

Bước 13.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{3}{e^{1}}$

Bước 13.3

Rút gọn.

$\frac{3}{e}$