Giải tích Ví dụ

$\sqrt{\frac{x}{5}}$

Bước 1

Viết $\sqrt{\frac{x}{5}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{5}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sqrt{\frac{x}{5}} d x$

Bước 4

Giả sử $u = \frac{x}{5}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{5} d x$ , nên $5 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \frac{x}{5}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Bước 4.1.2

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $\frac{1}{5}$ với $1$ .

$\frac{1}{5}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{\frac{1}{5}} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{5}$ .

$\int \sqrt{u} (1 \cdot 5) d u$

Bước 5.2

Nhân $5$ với $1$ .

$\int \sqrt{u} \cdot 5 d u$

Bước 5.3

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$\int 5 \sqrt{u} d u$

Bước 6

Vì $5$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int \sqrt{u} d u$

Bước 7

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $5$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 9.2.2

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{5}$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{x}{5})}^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{10}{3} {(\frac{1}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{\frac{x}{5}}$ .

$F (x) =$ $\frac{10}{3} {(\frac{1}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$