Giải tích Ví dụ

$\int \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{5 - 3 x^{3}}} d x$

Bước 1

Vì $\frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{3}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{5 - 3 x^{3}}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 5 - 3 x^{3}$ . Sau đó $d u = - 9 x^{2} d x$ , nên $- \frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 5 - 3 x^{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $5 - 3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x^{3}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 - 3 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{3}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$0 - 3 (3 x^{2})$

Bước 2.1.3.3

Nhân $3$ với $- 3$ .

$0 - 9 x^{2}$

Bước 2.1.4

Trừ $9 x^{2}$ khỏi $0$ .

$- 9 x^{2}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 9} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{9}) d u$

Bước 3.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{9}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 9} d u$

Bước 3.3

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{9 \sqrt{u}} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} (- \int \frac{1}{9 \sqrt{u}} d u)$

Bước 5

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{9}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} (- (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u))$

Bước 6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nhân $\frac{3}{2}$ với $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.2

Nhân $2$ với $9$ .

$- \frac{3}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- \frac{3 (1)}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $18$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 6.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 6.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 6.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 6.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{6} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $- \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{6}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 2}{6} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{6} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 - 3 x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(5 - 3 x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$