Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} {(x - x^{2})}^{3} (1 - 2 x) d x$

Bước 1

Giả sử $u = x - x^{2}$ . Sau đó $d u = (1 - 2 x) d x$ , nên $\frac{1}{1 - 2 x} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x - x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$1 - (2 x)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$1 - 2 x$

Bước 1.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 x + 1$

Bước 1.1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$1 - 2 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - x^{2}$ .

$u_{lower} = 0 - 0^{2}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0$

Bước 1.3.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $0$ và $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - x^{2}$ .

$u_{upper} = 2 - 2^{2}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 2 - 1 \cdot 4$

Bước 1.5.1.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$u_{upper} = 2 - 4$

Bước 1.5.2

Trừ $4$ khỏi $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{- 2} u^{3} d u$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{- 2}$

Bước 3

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính $\frac{1}{4} u^{4}$ tại $- 2$ và tại $0$ .

$(\frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Bước 3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $16$ .

$\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Bước 3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Bước 3.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Bước 3.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Bước 3.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Bước 3.2.3.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Bước 3.2.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0$

Bước 3.2.5

Nhân $0$ với $- 1$ .

$4 + 0 (\frac{1}{4})$

Bước 3.2.6

Nhân $0$ với $\frac{1}{4}$ .

$4 + 0$

Bước 3.2.7

Cộng $4$ và $0$ .

$4$

Bước 4