Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 2 x^{\frac{2}{5}} + 3$

Bước 1

Viết $\frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 2 x^{\frac{2}{5}} + 3$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 2 x^{\frac{2}{5}} + 3$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 2 x^{\frac{2}{5}} + 3 d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{5}} d x + \int 3 d x$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{5}} d x + \int 3 d x$

Bước 5.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{5}} d x + \int 3 d x$

Bước 5.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{5}} d x + \int 3 d x$

Bước 5.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{3}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{5}} d x + \int 3 d x$

Bước 5.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{5}} d x + \int 3 d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C + \int - 2 x^{\frac{2}{5}} d x + \int 3 d x$

Bước 7

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C - 2 \int x^{\frac{2}{5}} d x + \int 3 d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{2}{5}}$ đối với $x$ là $\frac{5}{7} x^{\frac{7}{5}}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C - 2 (\frac{5}{7} x^{\frac{7}{5}} + C) + \int 3 d x$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C - 2 (\frac{5}{7} x^{\frac{7}{5}} + C) + 3 x + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{5}{7}$ và $x^{\frac{7}{5}}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C - 2 (\frac{5 x^{\frac{7}{5}}}{7} + C) + 3 x + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{10 x^{\frac{7}{5}}}{7} + 3 x + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{7} x^{\frac{7}{5}} + 3 x + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 2 x^{\frac{2}{5}} + 3$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{7} x^{\frac{7}{5}} + 3 x + C$