Giải tích Ví dụ

$6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x}$

Bước 1

Viết $6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 6 \sqrt[3]{x} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

Bước 5

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int \sqrt[3]{x} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

Bước 6

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$6 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$6 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - \int \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

Bước 9

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - (2 \int \frac{1}{x} d x) + \int 3 e^{x} d x$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $x^{\frac{4}{3}}$ .

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - (2 \int \frac{1}{x} d x) + \int 3 e^{x} d x$

Bước 10.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int \frac{1}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

Bước 11

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + \int 3 e^{x} d x$

Bước 12

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int e^{x} d x$

Bước 13

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + 3 (e^{x} + C)$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn.

$\frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{2} - 2 \ln (| x |) + 3 e^{x} + C$

Bước 14.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{9}{2} x^{\frac{4}{3}} - 2 \ln (| x |) + 3 e^{x} + C$

Bước 15

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{2} x^{\frac{4}{3}} - 2 \ln (| x |) + 3 e^{x} + C$