Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} \frac{1}{x} d x$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} - (\ln (| x |)]_{1}^{8})$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ tại $8$ và tại $1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{8})$

Bước 6.1.2

Tính $\ln (| x |)$ tại $8$ và tại $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.5

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $16$ .

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.6

Nhân $3$ với $16$ .

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $48$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $48$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.7.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.7.2.4

Chia $12$ cho $1$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$12 - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.10

Để viết $12$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.11

Kết hợp $12$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{12 \cdot 4 - 3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.13.1

Nhân $12$ với $4$ .

$\frac{48 - 3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.13.2

Trừ $3$ khỏi $48$ .

$\frac{45}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6.1.3.14

Để viết $- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{45}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{4}{4}$

Bước 6.1.3.15

Kết hợp $- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{45}{4} + \frac{- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

Bước 6.1.3.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{45 - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

Bước 6.1.3.17

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{45 - 4 (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Bước 6.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{| 8 |}{| 1 |})}{4}$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $8$ là $8$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{8}{| 1 |})}{4}$

Bước 6.3.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{8}{1})}{4}$

Bước 6.3.3

Chia $8$ cho $1$ .

$\frac{45 - 4 \ln (8)}{4}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{45 - 4 \ln (8)}{4}$

Dạng thập phân:

$9.17055845 \dots$

Bước 8