Giải tích Ví dụ

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 1}$ ở dạng ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 8.3

Di chuyển ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 8.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 11

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 12

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 12.2

Kết hợp $2$ và $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 12.3

Kết hợp $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 13

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 14

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 16

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 17

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 18

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 19

Nhân $\frac{\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ với $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 20

Kết hợp.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 21

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 22

Triệt tiêu thừa số chung ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 22.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 23

Nhân ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Di chuyển ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 23.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 23.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 23.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 23.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{1} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 24

Rút gọn ${(x^{2} + 1)}^{1} (- \frac{d}{d x} [x])$ .

$\frac{x^{2} + (x^{2} + 1) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 25

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + (x^{2} + 1) (- 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 26

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x^{2} + (x^{2} + 1) \cdot - 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 26.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x^{2} + 1$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 26.3

Viết lại $- 1 (x^{2} + 1)$ ở dạng $- (x^{2} + 1)$ .

$\frac{x^{2} - (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 27

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 27.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 27.2.2

Trừ $1 \cdot 1$ khỏi $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 27.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 27.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 27.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$