Giải tích Ví dụ

$y = \sin^{2} (\sin (π x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (\sin (π x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (\sin (π x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (\sin (π x))]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (\sin (π x))]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (\sin (π x))$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \frac{d}{d x} [\sin (\sin (π x))]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \sin (π x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sin (π x)$ .

$2 \sin (\sin (π x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (π x)])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (\sin (π x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\sin (π x)])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (π x)$ .

$2 \sin (\sin (π x)) (\cos (\sin (π x)) \frac{d}{d x} [\sin (π x)])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = π x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $π x$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [π x])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\sin (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\cos (u_{3})$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [π x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $π x$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π x$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) (π \cdot 1)$

Bước 4.3

Nhân $π$ với $1$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) π$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) π$ .

$2 π \cos (\sin (π x)) \cos (π x) \sin (\sin (π x))$

Bước 5.2

Sắp xếp lại $2 π \cos (\sin (π x)) \cos (π x)$ và $\sin (\sin (π x))$ .

$\sin (\sin (π x)) (2 π \cos (\sin (π x)) \cos (π x))$

Bước 5.3

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$\sin (\sin (π x)) (2 π \cos (\sin (π x))) \cos (π x)$

Bước 5.4

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$\sin (\sin (π x)) (2 π) \cos (\sin (π x)) \cos (π x)$

Bước 5.5

Sắp xếp lại $\sin (\sin (π x)) (2 π)$ và $\cos (\sin (π x))$ .

$\cos (\sin (π x)) (\sin (\sin (π x)) (2 π)) \cos (π x)$

Bước 5.6

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\cos (\sin (π x)) (\sin (\sin (π x)) \cdot 2) π \cos (π x)$

Bước 5.7

Sắp xếp lại $\cos (\sin (π x))$ và $\sin (\sin (π x)) \cdot 2$ .

$\sin (\sin (π x)) \cdot 2 \cos (\sin (π x)) π \cos (π x)$

Bước 5.8

Sắp xếp lại $\sin (\sin (π x))$ và $2$ .

$2 \cdot \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) π \cos (π x)$

Bước 5.9

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\sin (2 \sin (π x)) π \cos (π x)$

Bước 5.10

Sắp xếp lại các thừa số trong $\sin (2 \sin (π x)) π \cos (π x)$ .

$π \sin (2 \sin (π x)) \cos (π x)$