Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x^{3} + 2$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x^{3} + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2}$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{3} + 2$ .

$u_{lower} = 1^{3} + 2$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = 1 + 2$

Bước 2.3.2

Cộng $1$ và $2$ .

$u_{lower} = 3$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{3} + 2$ .

$u_{upper} = t^{3} + 2$

Bước 2.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = t^{3} + 2$

Bước 2.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{u^{2}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} u^{- 2} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} - u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}}{3}$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $- u^{- 1}$ tại $t^{3} + 2$ và tại $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(t^{3} + 2)}^{- 1}) + 3^{- 1}}{3}$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} + \frac{1}{3}}{3}$

Bước 8.2.2

Để viết $- {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Bước 8.2.3

Kết hợp $- {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ và $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Bước 8.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot 3 + 1}{3}}{3}$

Bước 8.2.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}}{3}$

Bước 8.2.6

Viết lại $\frac{\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}}{3}$ ở dạng một tích.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 8.2.7

Nhân $\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3 \cdot 3}$

Bước 8.2.8

Nhân $3$ với $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{9}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) + 1}{9}$

Bước 9.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) - 1 (- 1)}{9}$

Bước 9.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)}{9}$

Bước 9.4

Viết lại $- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)$ ở dạng $- 1 (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)}{9}$

Bước 9.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{t \to \infty} - \frac{3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1}{9}$

Bước 10

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1}{9}$

Bước 10.2

Chuyển số hạng $\frac{1}{9}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- \frac{1}{9} lim_{t \to \infty} 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1$

Bước 10.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- \frac{1}{9} (lim_{t \to \infty} 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 10.4

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- \frac{1}{9} (3 lim_{t \to \infty} {(t^{3} + 2)}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 10.5

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9} (3 lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3} + 2} - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 10.6

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{t^{3} + 2}$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{9} (3 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Bước 10.7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- \frac{1}{9} (3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$

Bước 10.7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.2.1.1

Nhân $3$ với $0$ .

$- \frac{1}{9} (0 - 1 \cdot 1)$

Bước 10.7.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{9} (0 - 1)$

Bước 10.7.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot - 1$

Bước 10.7.2.3

Nhân $- \frac{1}{9} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.2.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{9})$

Bước 10.7.2.3.2

Nhân $\frac{1}{9}$ với $1$ .

$\frac{1}{9}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{9}$

Dạng thập phân:

$0.\overline{1}$