Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Bước 1

Viết $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{3} (x)} d x$

Bước 4

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ sang $\sec^{3} (x)$ .

$\int \sec^{3} (x) d x$

Bước 5

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec^{3} (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

Bước 6

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sec (x)$ và $d v = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

Bước 7

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

Bước 8

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

Bước 9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Bước 10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

Bước 10.2

Sắp xếp lại $\tan^{2} (x)$ và $\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

Bước 11

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (x)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Bước 12

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

Bước 12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Bước 12.3

Sắp xếp lại $\sec (x)$ và $- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Bước 13

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

Bước 14

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

Bước 15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Bước 16

Cộng $1$ và $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

Bước 17

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

Bước 18

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

Bước 19

Cộng $2$ và $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Bước 20

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Bước 21

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Bước 22

Tích phân của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

Bước 23

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Bước 23.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Bước 24

Khi giải tìm $\int \sec^{3} (x) d x$ , chúng ta thấy rằng $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

Bước 25

Nhân $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ với $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

Bước 26

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$

Bước 27

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\cos^{3} (x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$