Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{3}{20} x^{- 4} + x^{5} + \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{3}{20} x^{- 4} + x^{5} + \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{- 4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $\frac{3}{20}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{20} x^{- 4}$ đối với $x$ là $\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 4$ .

$\frac{3}{20} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2.3

Kết hợp $- 4$ và $\frac{3}{20}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{20} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2.4

Nhân $- 4$ với $3$ .

$\frac{- 12}{20} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2.5

Kết hợp $\frac{- 12}{20}$ và $x^{- 5}$ .

$\frac{- 12 x^{- 5}}{20} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2.6

Di chuyển $x^{- 5}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 12}{20 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 12$ .

$\frac{4 (- 3)}{20 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $20 x^{5}$ .

$\frac{4 (- 3)}{4 (5 x^{5})} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot - 3}{4 (5 x^{5})} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{3} x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.4.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.4.4

Kết hợp $\frac{3}{3}$ và $x^{2}$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.4.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.4.5.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + x^{2} + 2 x$

Bước 1.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 5 x^{4} + x^{2} + 2 x - \frac{3}{5 x^{5}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{4} + x^{2} + 2 x - \frac{3}{5 x^{5}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{4}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Bước 2.2.3

Nhân $4$ với $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$20 x^{3} + 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Bước 2.4.3

Nhân $2$ với $1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Bước 2.5

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vì $- \frac{3}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{5 x^{5}}$ đối với $x$ là $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Bước 2.5.2

Viết lại $\frac{1}{x^{5}}$ ở dạng ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Bước 2.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{5}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 2.5.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 2.5.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{5}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 2.5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Bước 2.5.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Bước 2.5.5.2

Nhân $5$ với $- 2$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Bước 2.5.6

Nhân $5$ với $- 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Bước 2.5.7

Nhân $x^{- 10}$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.7.1

Di chuyển $x^{4}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Bước 2.5.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Bước 2.5.7.3

Trừ $10$ khỏi $4$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 x^{- 6})$

Bước 2.5.8

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + 5 (\frac{3}{5}) x^{- 6}$

Bước 2.5.9

Kết hợp $5$ và $\frac{3}{5}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5} x^{- 6}$

Bước 2.5.10

Nhân $5$ với $3$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{15}{5} x^{- 6}$

Bước 2.5.11

Kết hợp $\frac{15}{5}$ và $x^{- 6}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{15 x^{- 6}}{5}$

Bước 2.5.12

Di chuyển $x^{- 6}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{15}{5 x^{6}}$

Bước 2.5.13

Triệt tiêu thừa số chung của $15$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.13.1

Đưa $5$ ra ngoài $15$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5 x^{6}}$

Bước 2.5.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.13.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 x^{6}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5 (x^{6})}$

Bước 2.5.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5 x^{6}}$

Bước 2.5.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{3}{x^{6}}$

Bước 2.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = 20 x^{3} + 2 x + \frac{3}{x^{6}} + 2$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $20 x^{3} + 2 x + \frac{3}{x^{6}} + 2$ .

$20 x^{3} + 2 x + \frac{3}{x^{6}} + 2$