Giải tích Ví dụ

$y = - \frac{1}{5} x^{- 4} + \frac{1}{10} + \frac{3}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{6}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{1}{5} x^{- 4} + \frac{1}{10} + \frac{3}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{6}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- \frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{5} x^{- 4}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 4$ .

$- \frac{1}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$

Bước 1.2.3

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$4 (\frac{1}{5}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$

Bước 1.2.5

Kết hợp $\frac{4}{5}$ và $x^{- 5}$ .

$\frac{4 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$

Bước 1.2.6

Di chuyển $x^{- 5}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$

Bước 1.3

Vì $\frac{1}{10}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{1}{10}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $\frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{2} x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$

Bước 1.4.3

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$

Bước 1.4.4

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$

Bước 1.4.5

Kết hợp $\frac{6}{2}$ và $x$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$

Bước 1.4.6

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$

Bước 1.4.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$

Bước 1.4.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$

Bước 1.4.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$

Bước 1.4.6.2.4

Chia $3 x$ cho $1$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + 3 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$

Bước 1.5

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{6}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{3} x^{6}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + 3 x + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Bước 1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + 3 x + \frac{2}{3} (6 x^{5})$

Bước 1.5.3

Kết hợp $6$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + 3 x + \frac{6 \cdot 2}{3} x^{5}$

Bước 1.5.4

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + 3 x + \frac{12}{3} x^{5}$

Bước 1.5.5

Kết hợp $\frac{12}{3}$ và $x^{5}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + 3 x + \frac{12 x^{5}}{3}$

Bước 1.5.6

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $12 x^{5}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + 3 x + \frac{3 (4 x^{5})}{3}$

Bước 1.5.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + 3 x + \frac{3 (4 x^{5})}{3 (1)}$

Bước 1.5.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + 3 x + \frac{3 (4 x^{5})}{3 \cdot 1}$

Bước 1.5.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + 3 x + \frac{4 x^{5}}{1}$

Bước 1.5.6.2.4

Chia $4 x^{5}$ cho $1$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + 0 + 3 x + 4 x^{5}$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Cộng $\frac{4}{5 x^{5}}$ và $0$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + 3 x + 4 x^{5}$

Bước 1.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 4 x^{5} + 3 x + \frac{4}{5 x^{5}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{5} + 3 x + \frac{4}{5 x^{5}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{5}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.2.3

Nhân $5$ với $4$ .

$20 x^{4} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{4} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$20 x^{4} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$20 x^{4} + 3 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $\frac{4}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4}{5 x^{5}}$ đối với $x$ là $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$20 x^{4} + 3 + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Bước 2.4.2

Viết lại $\frac{1}{x^{5}}$ ở dạng ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$20 x^{4} + 3 + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Bước 2.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{5}$ .

$20 x^{4} + 3 + \frac{4}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 2.4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$20 x^{4} + 3 + \frac{4}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 2.4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{5}$ .

$20 x^{4} + 3 + \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 2.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$20 x^{4} + 3 + \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Bước 2.4.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{4} + 3 + \frac{4}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Bước 2.4.5.2

Nhân $5$ với $- 2$ .

$20 x^{4} + 3 + \frac{4}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Bước 2.4.6

Nhân $5$ với $- 1$ .

$20 x^{4} + 3 + \frac{4}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Bước 2.4.7

Nhân $x^{- 10}$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.1

Di chuyển $x^{4}$ .

$20 x^{4} + 3 + \frac{4}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Bước 2.4.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$20 x^{4} + 3 + \frac{4}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Bước 2.4.7.3

Trừ $10$ khỏi $4$ .

$20 x^{4} + 3 + \frac{4}{5} (- 5 x^{- 6})$

Bước 2.4.8

Kết hợp $- 5$ và $\frac{4}{5}$ .

$20 x^{4} + 3 + \frac{- 5 \cdot 4}{5} x^{- 6}$

Bước 2.4.9

Nhân $- 5$ với $4$ .

$20 x^{4} + 3 + \frac{- 20}{5} x^{- 6}$

Bước 2.4.10

Kết hợp $\frac{- 20}{5}$ và $x^{- 6}$ .

$20 x^{4} + 3 + \frac{- 20 x^{- 6}}{5}$

Bước 2.4.11

Di chuyển $x^{- 6}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 x^{4} + 3 + \frac{- 20}{5 x^{6}}$

Bước 2.4.12

Triệt tiêu thừa số chung của $- 20$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.12.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 20$ .

$20 x^{4} + 3 + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{6}}$

Bước 2.4.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.12.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 x^{6}$ .

$20 x^{4} + 3 + \frac{5 \cdot - 4}{5 (x^{6})}$

Bước 2.4.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$20 x^{4} + 3 + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{6}}$

Bước 2.4.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$20 x^{4} + 3 + \frac{- 4}{x^{6}}$

Bước 2.4.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$20 x^{4} + 3 - \frac{4}{x^{6}}$

Bước 2.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = 20 x^{4} - \frac{4}{x^{6}} + 3$