Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} e^{1 - 2 x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 - 2 x$ . Sau đó $d u = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 - 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$0 - 2$

Bước 1.1.4

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$- 2$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 - 2 x$ .

$u_{lower} = 1 - 2 \cdot 0$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $- 2$ với $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 - 2 x$ .

$u_{upper} = 1 - 2 \cdot 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Bước 1.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{- 1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{- 1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 2.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{- 1} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{1}^{- 1} \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} e^{u} d u)$

Bước 5

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{- 1}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $e^{u}$ tại $- 1$ và tại $1$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 1}) - e^{1})$

Bước 6.2

Rút gọn.

$- \frac{1}{2} (e^{- 1} - e)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{e} - e)$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{2} (- e)$

Bước 7.3

Nhân $\frac{1}{e}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} - \frac{1}{2} (- e)$

Bước 7.4

Nhân $- \frac{1}{2} (- e)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

Bước 7.4.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{1}{2} e$

Bước 7.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{e}{2}$

Bước 7.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{e}{2}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{1}{2 e} + \frac{e}{2}$

Dạng thập phân:

$1.17520119 \dots$

Bước 9